3.MATEMATIKA

Akar Pangkat

Bilangan BerpangkatApabila ada sebuah bilangan a dikalikan sebanyak n kali, maka bisa dikatakan sebagai a pangkat n atau an
Bilangan berpangkat dapat dinyatakan dengan rumus:an=a×a×a×a…sebanyak n kalidimana:
a=bilangan basis (dasar)
n=bilangan pangkat (eksponen)

Jenis-jenis Bilangan Berpangkat:

  • Bilangan Berpangkat Bulat Positif
    Bilangan yang disederhanakan dari hasil perkalian dengan basis bilangan yang sama
    Contoh Bilangan Pangkat Bulat Positif:
    • 53=5×5×5=125
    • 24=2×2×2×2=16

  • Bilangan Berpangkat Nol
    anan=an−n=a0=1Contoh Bilangan Pangkat Nol:
    • 30=1
    • 52:52=52−2=50=1
    • 3434=1

  • Bilangan Berpangkat Bulat Negatif
    Bilangan yang terjadi akibat hasil pembagian dari bilangan berpangkat kecil dengan bilangan berbasis sama namun berpangkat lebih besar, sehingga pangkat dinyatakan dalam keadaan negatif (minus)
    Dapat dirumuskan sebagai:
    a-n=1an
    dimana: a≠0Contoh Bilangan Pangkat Bulat Negatif:
    • 32:34=32−4=3-2
    • 123=2-3
    • 5355=5×5×55×5×5×5×5=152=5-2

Sifat Perpangkatan & Akar

  1. a0=1 dimana a≠0
  2. a-n=1an
  3. am×am=am+n
  4. am:an=am-n
  5. amn=am×n
  6. (a×b)m=am×bm
  7. abm=ab×ab×ab×…(sebanyak m kali)
  8. a1n=na
  9. amn=nam
  10. nma=a1m1n=a1m×n=a1m n
  11. na×b=na×nb
  12. (-a)m
    • Jika m ganjil, maka (-a)m=-am
    • Jika m genap, maka (-a)m=am
  13. -am=-1×am
    (Minus tidak diikutkan dalam perkalian berulang karena tidak ada didalam tanda kurung)
  14. Jika Bilangan pangkat tidak ditulis, berarti bilangan tersebut berpangkat satu:
    a=a1
  15. Jika Bilangan akar tidak ditulis, berarti bilangan tersebut akar dua:
     a=2a

Contoh:
• 32:34=32-4=3-2=132=19
• 63=(2×3)3=23×33=8×27=216
• 53×5:54=53+1-4=50=1

• 2212=22×12=2

• 

632= 63
= (2×3)3
= 23× 33
=232×332

Fungsi Kuadrat

Fungsi kuadrat adalah suatu persamaan dari variabel yang mempunyai pangkat tertinggi dua. Fungsi ini berkaitan dengan persamaan kuadrat. Bentuk umum persamaan kuadrat adalah:

ax^2 + bx + c = 0

Punya PR yang gak ngerti? Yuk tanya di Forum StudioBelajar.com

Sedangkan bentuk umum dari fungsi kuadrat adalah:

f(x) = ax^2 + bx + c
a \neq 0

Dengan a, b, merupakan koefisien, dan c adalah konstanta, serta .Lihat juga materi StudioBelajar.com lainnya:
Pengertian Integral, Integral Tak Tentu, Integral Trigonometri
Matriks – Penjumlahan, Perkalian, Determinan, Invers

Fungsi kuadrat f(x) dapat juga ditulis dalam bentuk y atau:

y = ax^2 + bx + c

Dengan x adalah variable bebas dan y adalah variable terikat. Sehingga nilai y tergantung pada nilai x, dan nilai-nilai x tergantung pada area yang ditetapkan. Nilai y diperoleh dengan memasukan nilai-nilai x kedalam fungsi.

Grafik Fungsi Kuadrat

y = ax^2 + bx + c

Fungsi kuadrat  dapat digambarkan ke dalam koordinat kartesius sehingga diperoleh suatu grafik fungsi kuadrat. Sumbu x adalah domain dan sumbu y adalah kodomain. Grafik dari fungsi kuadrat berbentuk seperti parabola sehingga sering disebut grafik parabola.

f(x) = x^2 - 2x - 3

Grafik dapat dibuat dengan memasukan nilai x pada interval tertentu sehingga didapat nilai y. Kemudian pasangan nilai (x, y) tersebut menjadi koordinat dari yang dilewati suatu grafik. Sebagai contoh, grafik dari fungsi:  adalah:

koordinat kartesius

grafik fungsi kuadrat

Jenis grafik fungsi kuadrat lain

1. Grafik fungsi 

y = ax^2 + bx + c

Jika pada fungsi  memiliki nilai b dan c sama dengan nol, maka fungsi kuadratnya:

y = ax^2
f(x) = 2x^2

Pada grafik fungsi ini akan selalu memiliki garis simetris pada x = 0 dan titik puncak y = 0. Sebagai contoh , maka grafiknya adalah:

gambar grafik f(x) = 2x^2

2. Grafik fungsi 

y = ax^2 + bx + c

Jika pada fungsi  memiliki nilai b = 0, maka fungsi kuadratnya sama dengan:

y = ax^2 + c
y = ax^2
y_{puncak} = c
2x^2

Pada fungsi ini grafik akan memiliki kesamaan dengan grafik fungsi kuadrat  yaitu selalu memiliki garis simetris pada x = 0. Namun, titik puncaknya sama dengan nilai c atau . Sebagai contoh  =   + 2, maka grafiknya adalah:

sumbu simetris dan titik puncak

3. Grafik fungsi 

y = ax^2 + bx + c

Grafik ini merupakan hasil perubahan bentuk dari  . Pada fungsi kuadrat ini grafik akan memiliki titik puncak (x, y) sama dengan (h, k). Hubungan antara a, b, dan c dengan h, k sebagai berikut:

(h, k) = [- \frac{b}{2a}, - (\frac{b^2 - 4ac}{2a})]

Sifat-sifat Grafik Fungsi Kuadrat

a. Grafik terbuka

y = ax^2 + bx +c
a> 0

Grafik  dapat terbuka ke atas atau ke bawah. Sifat ini ditentukan oleh nilai a. Jika  maka grafik terbuka ke atas, jika  maka grafik terbuka kebawah.

sifat grafik fungsi kuadrat kurva terbuka

b. Titik Puncak

Grafik kuadrat mempunyai titik puncak atau titik balik. Jika grafik  terbuka kebawah, maka titik puncak adalah titik maksimum. Jika grafik terbuka keatas maka, titik puncak adalah titik minimum.

c. Sumbu Simetri

ax^2 + bx + c

Sumbu simetri membagi grafik kuadrat menjadi 2 bagian sehingga tepat berada di titik puncak. Karena itu, letaknya pada grafik  berada pada:

x =-\frac{b}{2a}

d. Titik potong sumbu y

y = ax^2 + bx + c

Grafik  memotong sumbu y di x = 0. Jika nilai x = 0 disubstitusikan ke dalam fungsi, diperoleh y = c. Maka titik potong berada di (0, c).

titik potong sumbu y

e. Titik potong sumbu x

Grafik kuadrat akan memotong sumbu x di y = 0, sehingga membentuk persamaan:

ax^2 + bx + c

Akar-akar dari persamaan tersebut adalah absis dari titik potong. Oleh karena itu, nilai diskriminan (D) berpengaruh pada keberadaan titik potong sumbu x sebagai berikut:

  • Jika , grafik memotong sumbu x di dua titik
  • Jika , grafik menyinggung sumbu x
  • Jika , grafik tidak memotong sumbu x

Jika digambarkan, sebagai berikut:Mau latihan soal? Yuk jawab pertanyaan di Forum StudioBelajar.com

titik potong sumbu x berdasarkan diskriminan

Menyusun Persamaan Grafik Fungsi Kuadrat

Persamaan grafik fungsi kuadrat dapat dibentuk dengan syarat:

  1. Diketahui tiga titik koordinat (x, y) yang dilalui oleh grafik

Ketiga koordinat tersebut, masing-masing disubstitusikan kedalam persamaan grafik:

y = ax^2 + bx + c
y = ax^2 + bx + c

Sehingga didapat tiga persamaan berbeda yang saling memiliki variabel a, b dan c. Selanjutnya dilakukan teknik eliminasi aljabar untuk memperoleh nilai dari a, b dan c. Setelah diperoleh  nilai-nilai itu, kemudian masing-masing disubstitusikan ke dalam persamaan  sebagai koefisien.

  1. Diketahui titik potong dengan sumbu x dan satu titik yang dilalui
(x_1,0)
x_2,0

Jika titik potong sumbu x adalah  dan , maka rumus fungsi kuadrat nya adalah:

y = a(x - x_1)(x - x_2)

Dengan nilai a didapat dari mensubstitusikan titik (x, y) yang dilalui.

  1. Diketahui titik puncaknya dan satu titik yang dilalui
(x_p,y_p)

Jika titik puncaknya adalah , maka rumus fungsi kuadrat nya adalah:

y = a(x - x_p)^2 + y_p

Dengan nilai a didapat dari mensubstitusikan titik (x, y) yang dilalui.

Contoh Soal Fungsi Kuadrat dan Pembahasan

Contoh Soal 1

y = x^2 + ax + b

Jika grafik  mempunyai titik puncak (1, 2), tentukan nilai a dan b. (UMPTN ’92)

Pembahasan 1:

(-\frac{b}{2a})

Gunakan rumus  sebagai nilai x titik puncak, sehingga:

-\frac{a}{2(1)} = 1
a = -2

y = x^2 + ax + b

Substitusi titik puncak (1, 2) ke dalam persamaan  diperoleh:

2 = (1)^2 + a(1) + b
1 = a+ b
a = -2

Dari persamaan baru, substitusikan nilai ,maka:

1 = a + b = -2 + b
b =3

Contoh Soal 2

y = ax^2 + 6x + (a+1)

Jika fungsi   mempunyai sumbu simetri x = 3, tentukan nilai maksimumnya. (UMPTN ‘00)

Pembahasan:

Sumbu simetri berada di x titik puncak, sehingga:

-\frac{b}{2a} = 3
-\frac{6}{2a} = 3
a =-1

Sehingga fungsi y menjadi:

y = -x^2 + 6x

Nilai maksimumnya:

-(\frac{b^2-4ac}{4a}) = -(\frac{6^2 - 4(-1)(0)}{4(-1)}) = (\frac{36}{4}) = 9

Soal 3

y = x^2 4x + 3

Tentukan grafik yang melintasi (-1, 3) dan titik minimumnya sama dengan puncak grafik . (UMPTN ‘00)

Pembahasan:

y = x^2 + 4x + 3

Titik puncak  adalah:

(x_p, y_p) = [-\frac{b}{2a},-(\frac{b^2-4ac}{4a})] = [-\frac{4}{2},-(\frac{4^2 - 4(3)}{4})]
(x_p, y_p) = [-2, -(\frac{16 - 12}{4})] = (-2, -1)
(-1,3)
(x_p,y_p)

Substitusikan nilai  dan  dalam persamaan:

y = a(x - x_p)^2 + y_p
3 = a((-1)-(-2))^2 + (-1)
3 = a(1^2) + (-1)
a = 4

Maka grafik fungsi kuadrat yang dicari adalah:

y = a (x-x_p)^2 + y_p = 4(x+2)^2 - 1
y = 4(x^2 + 4x + 4) - 1 = 4x^2 + 16x + 16 - 1
y = 4x^2 + 16x + 15

Masih bingung? Yuk diskusi di Forum StudioBelajar.com

Leave a reply

Save my name, email, and website in this browser for the next time I comment.Prev PostNext Post

Cari Bahan Belajar

Kategori Pelajaran:

Matematika
Fisika
Kimia
Ekonomi
Bahasa Indonesia
Bahasa Inggris
Penambah Wawasan

Artikel Terbaru:

Informasi

Tentang StudioBelajar
Kebijakan Privasi
Kontak
Pasang Iklan

Kerjasama

Untuk penawaran kerjasama, baik berupa iklan, media partner, atau bentuk kerjasama lainnya, silakan kirim email ke diansinaga92@gmail.com

TRANSLASI

Translasi merupakan jenis transformasi yang memindahkan suatu titik sepanjang garis lurus dengan arah dan jarak. Artinya, translasi itu hanya perpindahan titik ya Squad. Kalau kamu perhatikan baik-baik, di perosotan itu hanya mengubah titik awal (puncak perosotan), menuju titik akhir (ujung perosotan).

Gambaran translasi itu seperti ini ya.

 (sumber: rumushitung.com)

Lihat kan? Translasi itu hanya berubah posisinya saja. Ukurannya mah tetap aja sama. Translasi ternyata ada rumusnya juga lho. Seperti apa rumusnya?

2. Refleksi (Pencerminan)

Squad tahu refleksi? Refleksi dalam transformasi geometri berbeda lho dengan refleksi di bidang kesehatan. Sama-sama berfokus pada titik sih, hanya saja kalau refleksi di bidang kesehatan itu ada titik-titik tertentu yang dipijat di bagian telapak kaki.

Titik refleksi pada kaki untuk menunjang kesehatan. (sumber: pinterest.com)

Bukan titik refleksi pada telapak kaki ya. Refleksi dalam transformasi geometri ini dapat dikatakan pencerminan. Kamu tahu cermin kan? Pasti di rumah kalian ada sih, buat ngaca pastinya. Nah, refleksi ini memindahkan semua titik dengan menggunakan sifat pencerminan pada cermin datar.